Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 62 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng:

a) MN⊥AB

b) MN = NH

Lời giải:

a)

Ta có Ax, By là các tiếp tuyến

⇒Ax⊥AB tại A, tại B

⇒ Ax // By hay AC // BD

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

NDNA=BDAC (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CM và BD = DM (2)

Từ (1) và (2) suy ra: NDNA=MDMC

Xét tam giác ACD có:

NDNA=MDMC

⇒ MN // AC (theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: AC⊥AB (vì Ax⊥AB)

⇒MN⊥AB tại H

b)

Trong tam giác ACD

Ta có: MN // AC

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

MNAC=DNDA (3)

Trong tam giác ABC

Ta có: MH // AC (vì M, N, H thẳng hàng)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

HNAC=BNBC (4)

Trong tam giác BDN

Ta có: AC // BD

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

NDNA=BNNC⇒ND(DN+NA)=BN(BN+NC)⇔NDDA=BNBC (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra:

MNAC=HNAC⇒MN=HN